Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．
（2）若a=

5

2

且關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x2+b在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*．求證：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，等價(jià)于f（x）在[1，+∞）上的最大值小于等于0，根據(jù)a的范圍分類討論，利用導(dǎo)數(shù)即可求得f（x）的最大值；
（2）表示出方程，分離出b，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+

1

2

x2-

5

2

x+1（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)可求出g（x）在[1，4]上的值域，作出g（x）的草圖，由圖象即可求得b的范圍；
（3）由（1）得a=1時(shí)f（x）≤0，即lnx≤x-1，則a_n+1=lna_n+a_n+2可化為a_n+1≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，即a_n+1+1≤2（a_n+1），所以

an+1+1

an+1

≤2，由此構(gòu)造n-1個(gè)不等式累乘即可得到結(jié)論；

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
f（x）在[1，+∞）上無最大值，不合題意；
當(dāng)0＜

1

a

≤1即a≥1時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在[1，+∞）上遞減，
所以f（x）在[1，+∞）上的最大值為f（1）=-a+1，
由f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，得-a+1≤0，解得a≥1；
當(dāng)

1

a

＞1即0＜a＜1時(shí)，x∈[1，

1

a

）時(shí)f′（x）＞0，f（x）遞增，x∈（

1

a

，+∞）時(shí)f′（x）＜0，f（x）遞減，
所以f(x)max=f(

1

a

)=-lna，則-lna≤0，解得a≥1，此時(shí)無解；
綜上，a≥1，所以實(shí)數(shù)a的最小值為1；
（2）f（x）=-

1

2

x2+b，即lnx+

1

2

x2-

5

2

x+1=b，
令g（x）=lnx+

1

2

x2-

5

2

x+1（x＞0），則g′（x）=

1

x

+x-

5

2

=

(x- 1 2 )(x-2)

x

，
當(dāng)1≤x＜2時(shí)g′（x）＜0，g（x）遞減，當(dāng)2＜x≤4時(shí)g′（x）＞0，g（x）遞增，
所以x=2時(shí)g（x）取得最小值為ln2-2，
又g（1）=-1，g（4）=ln4-1，所以g（x）的最大值為ln4-1，
作出g（x）在[1，4]上的草圖如下：

由于方程在[1，4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
根據(jù)圖象可知b的范圍為（ln2-2，-1]；
證明：（3）由（1）知，因?yàn)閍_n+1=lna_n+a_n+2，
所以a_n+1≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，即a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以

a2+1

a1+1

×

a3+1

a2+1

×

a4+1

a3+1

×…×

an+1

an-1+1

≤2×2×2×…×2=2^n-1，即

an+1

a1+1

≤2n-1，
所以a_n+1≤2ⁿ，即an≤2n-1；

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、數(shù)列與不等式的綜合、函數(shù)恒成立等知識(shí)，解決（3）問的關(guān)鍵是借助（1）問結(jié)論恰當(dāng)構(gòu)造不等式．