Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=-

1

2

n2+kn（其中k∈N₊）且S_n的最大值為8．
（1）確定常數(shù)k，并求a_n；
（2）求數(shù)列{

9-2an

2n

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用前n項和Sn=-

1

2

n2+kn（其中k∈N₊）且S_n的最大值為8，先求出參數(shù)k．然后求出數(shù)列的通項公式．
（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和T_n．

解答：解：（1）將數(shù)列進(jìn)行配方得和Sn=-

1

2

n2+kn=-

1

2

(n-k)2+

k2

2

，因為對應(yīng)拋物線開口向下，且S_n的最大值為8，
所以

k2

2

=8，解得k2=16，k=4．即Sn=-

1

2

n2+4n．
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=-

1

2

n2+4n-[-

1

2

(n-1)2+4(n-1)]=-n+

9

2

，
當(dāng)n=1時，a1=S1=-

1

2

+4=

7

2

滿足a_n，所以an=-n+

9

2

，n∈N•．為等差數(shù)列．
（2）數(shù)列bn=

9-2an

2n

=

9-2(-n+ 9 2 )

2n

=

2n

2n

=

n

2n-1

．
 則Tn=

1

20

+

2

2

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，
所以2Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

所以兩式相減得-Tn=

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

n

2n

=1-(

1

2

)n-1-

n

2n

=1-

1+2n

2n-1

，
即Tn=

1+2n

2n-1

-1．

點(diǎn)評：本題主要考查利用錯位相減法求數(shù)列的和．考查學(xué)生的運(yùn)算能力，運(yùn)算量較大．