Question

設(shè)D是函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間，若存在x∈D，使f（x）=x，則稱x是f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，也稱f（x）在區(qū)間D上有不動(dòng)點(diǎn)．
（1）證明f（x）=2^x-2x-3在區(qū)間（1，4）上有不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若函數(shù)在區(qū)間[1，4]上有不動(dòng)點(diǎn)，求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)“f（x）在區(qū)間D上有不動(dòng)點(diǎn)”當(dāng)且僅當(dāng)“F（x）=f（x）-x在區(qū)間D上有零點(diǎn)”，令F（x）=f（x）-x=2^x-3x-3在區(qū)間[1，4]上是一條連續(xù)不斷的曲線，利用F（1）•F（4）＜0可確定函數(shù)F（x）=f（x）-x在區(qū)間（1，4）內(nèi)有零點(diǎn)，從而得到結(jié)論；
（2）依題意，存在x∈[1，4]，使，討論將a分離出來，利用導(dǎo)數(shù)研究出等式另一側(cè)函數(shù)的取值范圍即可求出a的范圍．
解答：解：（1）依題意，“f（x）在區(qū)間D上有不動(dòng)點(diǎn)”當(dāng)且僅當(dāng)“F（x）=f（x）-x在區(qū)間D上有零點(diǎn)”（2分），
F（x）=f（x）-x=2^x-3x-3在區(qū)間[1，4]上是一條連續(xù)不斷的曲線（3分），
F（1）•F（4）=-4×1＜0（4分），
所以函數(shù)F（x）=f（x）-x在區(qū)間（1，4）內(nèi)有零點(diǎn)，f（x）=2^x-2x-3在區(qū)間（1，4）上有不動(dòng)點(diǎn)（5分）．
（2）依題意，存在x∈[1，4]，使
當(dāng)x=1時(shí)，使（6分）；
當(dāng)x≠1時(shí)，解得（8分），
由（9分），
得x=2或（，舍去）（10分），

x	（1，2）	2	（2，4）
a′	+		-
a	↗	最大值	↘

（12分），當(dāng)x=2時(shí)，（13分），
所以常數(shù)a的取值范圍是（14分）．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及函數(shù)零點(diǎn)和利用導(dǎo)數(shù)研究最值等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．