Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，它的焦距為2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+t=0與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點不在圓x²+y²=$\frac{10}{9}$內(nèi)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由P是橢圓上任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，它的焦距為2，求出a，b，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）直線x-y+t=0與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點，聯(lián)立直線和橢圓的方程，消元，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理求得AB的中點坐標，再根據(jù)該點不在圓內(nèi)，得到該點到圓心的距離≥半徑，求得t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵P是橢圓上任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，它的焦距為2，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，∴b=1，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）聯(lián)立直線x-y+t=0，消去y整理得：3x²+4tx+2t²-2=0
則△=16t²-12（2t²-2）=8（-t²+3）＞0，解得-$\sqrt{3}$＜t＜$\sqrt{3}$①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4t}{3}$，y₁+y₂=x₁+x₂+2t=$\frac{2t}{3}$，
即AB的中點為（-$\frac{2t}{3}$，$\frac{t}{3}$），
又∵AB的中點不在x²+y²=$\frac{10}{9}$內(nèi)，
∴x²+y²=$\frac{5{t}^{2}}{9}$≥$\frac{10}{9}$
解得，m≤-$\sqrt{2}$或m≥$\sqrt{2}$②
由①②得：-$\sqrt{3}$＜m≤-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$≤m＜$\sqrt{3}$．

點評 本小題主要考查直線與圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力，直線與圓錐曲線相交問題，易忽視△＞0，屬中檔題．