Question

雙曲線x²-y²=2的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且滿足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，則x₂₀₀₈的值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   4016
4. D.
   4015

Answer 1

C
分析：根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線上的點到兩個焦點距離之差的絕對值等于2a，可得到P_n+1F₁|-|P_n+1F₂|=2，在根據(jù)|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，判斷出數(shù)列{P_nF₁|}為等差數(shù)列，公差為2，首項為3，求出|P₂₀₀₈F₁|，在根據(jù)雙曲線的第二定義，雙曲線上的點到左焦點的距離與到左準線的距離比等于離心率，求出x₂₀₀₈的值．
解答：∵P_n+1點在雙曲線x²-y²=2右支上，∴|P_n+1F₁|-|P_n+1F₂|=2
又∵|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，∴|P_n+1F₁|-|P_nF₁|=2
∴數(shù)列{P_nF₁|}為等差數(shù)列，公差為2
∵P₁F₂⊥F₁F₂，∴|P₁F₂|=，則|P₁F₁|=3
∴|P₂₀₀₈F₁|=|P₁F₁|+2007×2=3+2007×2=4017
∵雙曲線x²-y²=2的左準線方程為x=-1，離心率為，
設P₂₀₀₈到左準線距離為d，則=，∴d=4017
又∵d=x₂₀₀₈+1，∴x₂₀₀₈=4016
故選C
點評：本題主要考查了雙曲線第一第二定義的應用，以及等差數(shù)列的判斷，屬于圓錐曲線與數(shù)列的綜合題．