Question

已知函數(shù)f（x）=6lnx（x＞0）和g（x）=ax²+8x-b（a，b為常數(shù)）的圖象在x=3處有公切線．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的極大值和極小值；
（3）關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有幾個不同的實數(shù)解？

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先對兩個函數(shù)求導(dǎo)，再由題目條件知，f′（3）=g′（3）從而建立關(guān)于a的方程，可求得a的值．
（2）由（1）確定了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的解析式，通過探討導(dǎo)數(shù)的符號得函數(shù)的單調(diào)性，即可的函數(shù)的極大值和極小值．
（3）由（2）可得結(jié)論．

解答： 解：（1）f′（x）=

6

x

，g′（x）=2ax+8，
根據(jù)題意，得f′（3）=g′（3）
解得a=-1；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=6lnx+x²-8x．
令F′（x）=

6

x

+2x-8，得x=1，3．
∵0＜x＜1時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；
1＜x＜3時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；
x＞3時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增．
∴F（x）的極大值為F（1）=-7，F(xiàn)（x）的極小值為F（3）=-15+6ln3；
（3）∵F（x）的極大值為F（1）=-7＜0，F(xiàn)（x）的極小值為F（3）=-15+6ln3＜0，
∴關(guān)于x的方程f（x）=g（x）有1個不同的實數(shù)解．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及學生靈活轉(zhuǎn)化題目條件的能力，是個中檔題．