Question

已知橢圓C的方程為x2＋＝1，點P(a，b)的坐標滿足a2＋≤1，過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點． (1) 求點Q的軌跡方程 (2) 求點Q的軌跡與坐標軸的交點的個數(shù)

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：設點A、B的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，點Q的坐標為Q(x，y)． 　　當x1≠x2時，設直線斜率為k，則l的方程為y＝k(x－a)＋b． 　　由已知＋＝1　�、�， 　　＋＝1　　　　�、�， 　　y1＝k(x1－a)＋b　　　 ③ 　　y2＝k(x2－a)＋b　　　 ④， 　�、伲�②得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，　�、� 　�、郏�④得y1＋y2＝k(x1＋x2)－2ka＋2b．　　　　　　　⑥ 　　由⑤、⑥及x＝，k＝，得點Q的坐標滿足方程2x2＋y2－2ax－by＝0．　�、� 　　當x1＝x2時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸，即Q的坐標為(a，0)，顯然點Q的坐標滿足方程⑦． 　　綜上所述．點Q的坐標滿足方程2x2＋y2－2ax－by＝0． 　　設方程⑦所表示的曲線為l， 　　則由　　得(2a2＋b2)x2－4ax＋2－b2＝0． 　　因為△＝8b2(a2＋－1)，由已知得a2＋≤1， 　　所以當a2＋＝1時，△＝0，曲線l與橢圓C有且只有一個交點P(a，b)； 　　當a2＋＜1時，△＜0，曲線l與橢圓C沒有交點． 　　因為點(0，0)在橢圓C內．又在曲線l上，所以曲線l在橢圓C內．故點Q的軌跡方程為2x2＋y2－2ax－by＝0．

(2)

由得曲線l與y軸交于點(0，0)、(0，b)； 　　由得曲線l與x軸交于點(0，0)、(a，0)． 　　當a＝0，b＝0，即點P(a，b)為原點時，(a，0)、(0，b)與(0，0)重合，曲線l與x軸只有一個交點(0，0)； 　　當a＝0且0＜｜b｜≤時，即點P(a，b)不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點(a，0)與(0，0)重合，曲線l與坐標軸有兩個交點(0，b)與(0，0)； 　　同理，當b＝0且0＜｜a｜≤1時，即點P(a，b)不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線l與坐標軸有兩個交點(a，0)與(0，0)； 　　當0＜｜a｜＜1且0＜｜b｜＜時．即點P(a，b)在橢圓C內且不在坐標軸上時，曲線l與坐標軸有三個交點(a，0)、(0，b)與(0，0)． 　　點評：本題考查求點的軌跡方程，點與橢圓的位置關系，直線與橢圓相交等知識，考查分類討論的思想方法，以及綜合運用知識解題的能力．此題運算量大，涉及知識點較多，需要較高的運算能力和邏輯推理能力．