Question

20．已知f（x）=ln（1-x）+ax²+x
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，試判斷f（x）的單調(diào)性．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，?x∈（0，1），f（x）＜0成立，求a的取值范圍．
（3）求證：ln（1+n）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）＞1-$\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=ln（1-x）+\frac{1}{2}{x^2}+x$，求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)小于0，即可判斷f（x）的單調(diào)性．
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，?x∈（0，1），f（x）＜0成立，求a的取值范圍．
（3）證明$ln（\frac{n+1}{n}）-\frac{1}{n}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{n^2}$，利用疊加法，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：定義域?yàn)椋?∞，1）
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=ln（1-x）+\frac{1}{2}{x^2}+x$
所以$f'（x）=\frac{-1}{1-x}+x+1=\frac{{-1+（x-{x^2}）+1-x}}{1-x}$=$\frac{{-{x^2}}}{1-x}$＜0
所以f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減；
（2）解：f（x）=ln（1-x）+ax²+x定義域?yàn)椋?∞，1）．
$f'（x）=\frac{-1}{1-x}+2ax+1=\frac{{-1+2a（x-{x^2}）+1-x}}{1-x}$=$\frac{{（2a-1）x-2a{x^2}}}{1-x}$=$\frac{{2a{x^2}-（2a-1）x}}{x-1}$
  令f'（x）=0得x=0或$x=\frac{2a-1}{2a}=1-\frac{1}{2a}$，
∵a＞0，∴$x=1-\frac{1}{2a}＜1$
若$1-\frac{1}{2a}＞0$時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)$x∈（0，1-\frac{1}{2a}）$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)$x∈（1-\frac{1}{2a}，1）$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
而f（0）=0，所以$f（1-\frac{1}{2a}）$＞f（0）=0，所以不成立
若$1-\frac{1}{2a}=0$時(shí)，即$a=\frac{1}{2}$時(shí)，由（1）得f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減．
所以f（x）＜f（0）=0對(duì)?x∈（0，1）成立
若$1-\frac{1}{2a}＜0$時(shí)，即$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)$x∈（-∞，1-\frac{1}{2a}）$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)$x∈（1-\frac{1}{2a}，0）$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
所以f（x）＜f（0）=0對(duì)?x∈（0，1）成立．綜上所述：$0＜a≤\frac{1}{2}$
（3）證明：$a=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，所以f（x）＞f（0）=0對(duì)x∈（-∞，0）成立
即$ln（1-x）+\frac{1}{2}{x^2}+x＞0$
所以$ln（1-x）+x＞-\frac{1}{2}{x^2}$
令$x=-\frac{1}{n}$得$ln（1+\frac{1}{n}）-\frac{1}{n}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{n^2}$n∈N^*
即$ln（\frac{n+1}{n}）-\frac{1}{n}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{n^2}$
所以$ln（\frac{2}{1}）-\frac{1}{1}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{1^2}$，$ln（\frac{3}{2}）-\frac{1}{2}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{2^2}$，$ln（\frac{4}{3}）-\frac{1}{3}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{3^2}$，
…$ln（\frac{n+1}{n}）-\frac{1}{n}＞-\frac{1}{2}•\frac{1}{n^2}$
以上n個(gè)式子累加得$ln（1+n）-（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}）＞-\frac{1}{2}（\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{n^2}）$
＞$-\frac{1}{2}$（$1+\frac{1}{2•1}+\frac{1}{3•2}…+\frac{1}{n•（n-1）}$）=$-\frac{1}{2}（1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$1-\frac{1}{2n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．