Question

求函數(shù)y=（cosx-

1

2

）²+2在x∈[

π

3

，

2

3

π]的值域，并寫出取得最值時的x的取值集合．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用換元法令t=cosx，由于x∈[

π

3

，

2

3

π]，則t∈[-

1

2

，

1

2

]，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)z在閉區(qū)間上求值域即可．

解答： 解：令t=cosx，由于x∈[

π

3

，

2

3

π]，則t∈[-

1

2

，

1

2

]，
則y=（t-

1

2

）²+2，t∈[-

1

2

，

1

2

]
由于y=（t-

1

2

）²+2在[-

1

2

，

1

2

]上為減函數(shù)，
所以函數(shù)的值域為：[2，3]，
當t=-

1

2

，即cosx=-

1

2

，即x=

2

3

π，y_max=3；
當t=

1

2

，即cosx=

1

2

，即x=

π

3

，y_min=2．

點評：本題主要考查了函數(shù)的值域，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．