【題目】如圖,已知P(x0 , y0)是橢圓C: =1上一點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)的斜率分別為k1 , k2的兩條直線(xiàn)與圓(x﹣x02+(y﹣y02= 均相切,且交橢圓于A,B兩點(diǎn).

(1)求證:k1k2=﹣ ;
(2)求|OA||OB|得最大值.

【答案】
(1)

證明:由圓P與直線(xiàn)OA:y=k1x相切,

可得 =

即(4﹣5x02)k12+10x0y0k1+4﹣5y02=0,

同理,(4﹣5x02)k22+10x0y0k2+4﹣5y02=0,

即有k1,k2是方程(4﹣5x02)k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的兩根,

可得k1k2= = =﹣


(2)

解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立 ,

解得x12= ,y12= ,

同理,x22= ,y22= ,

(|OA||OB|)2=( + )( + ),

∴|OA||OB|=2

=2

當(dāng)且僅當(dāng)k1 時(shí),取等號(hào),

可得|OA||OB|的最大值為


【解析】(1)推導(dǎo)出k1 , k2是方程(4﹣5x02)k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的兩根,由此能利用韋達(dá)定理能求出k1k2為定值;(2)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),聯(lián)立 ,由此利用橢圓性質(zhì),結(jié)合已知條件運(yùn)用基本不等式能求出|OA||OB|的最大值.
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃銷(xiāo)售一款新型的空氣凈化器,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:當(dāng)每臺(tái)凈化器的利潤(rùn)為 x (單位:元, x 0 )時(shí),銷(xiāo)售量 q(x) (單位:百臺(tái))與 x 的關(guān)系滿(mǎn)足:若 x 不超過(guò) 20 , ;若 x 大于或等于180 ,則銷(xiāo)售量為零;當(dāng) 20 ≤ x ≤180 時(shí),( a , b 為實(shí)常數(shù)).

(Ⅰ)求函數(shù) q(x) 的表達(dá)式;

(Ⅱ)當(dāng) x 為多少時(shí),總利潤(rùn)(單位:元)取得最大值,并求出該最大值.

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【題目】一盒中裝有9張各寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3,從盒中任取3張卡片.

1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;

2表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

(注:若三個(gè)數(shù)滿(mǎn)足,則稱(chēng)為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|xex+1|,關(guān)于x的方程f2(x)+2sinαf(x)+cosα=0有四個(gè)不等實(shí)根,sinα﹣cosα≥λ恒成立,則實(shí)數(shù)λ的最大值為(
A.﹣
B.﹣
C.﹣
D.﹣1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在某校矩形的航天知識(shí)競(jìng)賽中,參與競(jìng)賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1:3,且成績(jī)分布在范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的同學(xué)獲獎(jiǎng),按文理科用分層抽樣的放發(fā)抽取200人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖.

(Ⅰ)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表,能否有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”;

(Ⅱ)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從參賽學(xué)生中,任意抽取3名學(xué)生,記“獲獎(jiǎng)”學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附表及公式:,其中

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)集合為下述條件的函數(shù)的集合:①定義域?yàn)?/span>;②對(duì)任意實(shí)數(shù),都有

1)判斷函數(shù)是否為中元素,并說(shuō)明理由;

2)若函數(shù)是奇函數(shù),證明:;

3)設(shè)都是中的元素,求證:也是中的元素,并舉例說(shuō)明,不一定是中的元素.

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(1)求過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的方程;

(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于,點(diǎn)都在(1)中的直線(xiàn)上.

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A.k<0
B.k<1
C.0<k<1
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)證明://平面;

)求二面角D--E的正弦值.

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