Question

已知函數(shù)f（x）=x³．
（Ⅰ）記φ(x)=f(x)+

t

3

f′(x)，(t∈R)，求φ（x）的極小值；
（Ⅱ）若函數(shù)h(x)=λ•

f′(x)

x

+sinx的圖象上存在互相垂直的兩條切線，求實(shí)數(shù)λ的值及相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，解方程φ′（x）=0，然后判斷兩根左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)，根據(jù)極小值的定義即可求得，注意討論參數(shù)t；
（Ⅱ）h（x）=3λx+sinx⇒h'（x）=3λ+cosx，設(shè)兩切點(diǎn)分別為（t₁，h（t₁）），（t₂，h（t₂）），則h'（t₁）h'（t₂）=-1，
利用關(guān)于λ的方程有解可求得等式，進(jìn)而求得λ值及相應(yīng)切點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）由已知：f（x）=x³，∴φ（x）=x³+tx²，φ′(x)=3x2+2tx=3x(x+

2t

3

)，
由φ'（x）=0⇒x=0，或x=-

2t

3

，
當(dāng)t=0時(shí)，φ'（x）=3x²≥0，∴φ（x）在（-∞，+∞）為增函數(shù)，此時(shí)不存在極值；
當(dāng)t＞0時(shí)，x變化時(shí)，φ'（x），φ（x）變化如下：

x	(-∞，- 2t 3 )	- 2t 3	(- 2t 3 ，0)	0	（0，+∞）
φ'（x）	+	0	-	0	+
φ（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由上表可知：φ（x）_極小=φ（0）=0，
當(dāng)t＜0時(shí)，x變化時(shí)，φ'（x），φ（x）變化如下：

x	（-∞，0）	0	(0，- 2t 3 )	- 2t 3	(- 2t 3 ，+∞)
φ'（x）	+	0	-	0	+
φ（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由上表可知：φ(x)極小=φ(-

2t

3

)=

4

27

t3．
綜上所述，當(dāng)t＜0時(shí)，極小值為

7

24

t3；當(dāng)t＞0時(shí)，極小值為0．
（Ⅱ）h（x）=3λx+sinx⇒h'（x）=3λ+cosx，
設(shè)兩切點(diǎn)分別為（t₁，h（t₁）），（t₂，h（t₂）），則h'（t₁）h'（t₂）=-1，
即（3λ+cost₁）（3λ+cost₂）=-1，⇒9λ2+3(cost1+cost2)λ+(cost1cost2+1)=0 …(*)，
∵λ∈R，∴方程（*）的判別式△=[3(cost1+cost2)]2-36(cost1cost2+1)≥0，
即(cost1-cost2)2≥4，又-1≤cost₁≤1，-1≤cost₂≤1，∴(cost1-cost2)2≤4，
從而可得：(cost1-cost2)2=4，
上式要成立當(dāng)且僅當(dāng)

cost1=1 cost2=-1

，或

cost1=-1 cost2=1

，
此時(shí)方程（*）的解為λ=0，
∵x≠0，∴存在λ=0，此時(shí)函數(shù)h(x)=λ•

f′(x)

x

+sinx的圖象在點(diǎn)（2kπ，0）（k∈Z，k≠0）處的切線和在點(diǎn)（2mπ+π，0）（m∈Z）處的切線互相垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析問題解決問題的能力．