Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，點(diǎn)M、N分別為側(cè)棱PD、PC的中點(diǎn)
（1）求證：CD∥平面AMN；
（2）求證：AM⊥平面PCD．

Answer 1

證明：（1）∵M(jìn)、N分別為側(cè)棱PD、PC的中點(diǎn)，
∴CD∥MN，
∵M(jìn)N?平面AMN，CD?平面AMN
∴CD∥平面AMN．
（2）∵PA=AD，M為PD的中點(diǎn)，
∴AM⊥PD
∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA
又∵底面是正方形，∴CD⊥AD，∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD，∵AM?平面PAD
∴AM⊥CD，又∵CD∩PD=D
∴AM⊥平面PCD．
分析：根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，只需證明平面內(nèi)一條直線(xiàn)與CD平行可證（1）；
利用CD與AD垂直，可證CD垂直平面PAD，這樣平面PCD內(nèi)可證有兩條直線(xiàn)PD與CD于AM垂直，然后線(xiàn)線(xiàn)垂直?線(xiàn)面垂直即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行與垂直的判定，證明線(xiàn)面平行一般有：線(xiàn)線(xiàn)平行?線(xiàn)面平行；面面平行?線(xiàn)面平行，兩種思路；
證明線(xiàn)面垂直一般有：線(xiàn)線(xiàn)垂直?線(xiàn)面垂直；面面垂直?線(xiàn)面垂直；?線(xiàn)面垂直；
另可用向量法證明．