Question

在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，且方程2cos²A+3cosA=2．
（1）若a=

3

，求△ABC面積的最大值．
（2）求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解關(guān)于cosA的方程，得cosA=

1

2

，A=

π

3

．利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，得3=b²+c²-bc，結(jié)合基本不等式算出bc≤3，最后用正弦定理關(guān)于三角形面積的公式即可算出△ABC面積S有最大值為

3 3

4

；
（2）根據(jù)A=

π

3

和π-A的誘導(dǎo)公式，并結(jié)合三角恒等變換公式化簡得sinB+sinC=

3

sin（B+

π

6

）．再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合B的范圍即可得到sinB+sinC的取值范圍．

解答：解：（1）方程2cos²A+3cosA=2即2cos²A+3cosA-2=0
解之得cosA=-2或cosA=

1

2

∵A是三角形的內(nèi)角，得cosA∈（-1，1）
∴cosA=

1

2

，得A=

π

3

由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
3=b²+c²-bc，即b²+c²=3+bc
∵b²+c²≥2bc，∴3+bc≥2bc，即bc≤3
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

3

時，bc的最大值為3
由正弦定理，△ABC面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×bc×sin

π

3

=

3

4

bc
∴當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

3

時，△ABC面積S有最大值為

3 3

4

；
（2）∵A=

π

3

∴sinB+sinC=sinB+sin（A+B）=sinB+sin（

π

3

+B）
=sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

）．
∵B∈（0，

2π

3

），得B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

）
∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，得

3

sin（B+

π

6

）∈（

3

2

，3]
即sinB+sinC的取值范圍為（

3

2

，3]．

點(diǎn)評：本題給出三角形ABC的角A滿足的方程，在已知a長的情況下求面積的最大值，并求sinB+sinC的取值范圍．著重考查了三角恒等變換、余弦定理、利用基本不等式求最值和三角形的面積求法等知識，屬于中檔題．