Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，f（x+1）為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，那么：
①求k的取值范圍；
②是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請(qǐng)求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求求f（x）的解析式，先利用f（x）的解析式求得f（x+1）的解析式，結(jié)合f（x+1）為偶函數(shù)列出等式，再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，將直線的方程代入二次函數(shù)的解析式，利用根的唯一性的條件列出另一個(gè)方程．從而求出a，b．問題解決．
（2）①先求函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用：“函數(shù)g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)”得其導(dǎo)數(shù)恒小于等于0，最后結(jié)合二次函數(shù)的根的判別式即可求k的取值范圍；
②對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在區(qū)間[m，n]（m＜n），再利用二次函數(shù)的單調(diào)性，求出m，n的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）∵f（x+1）為偶函數(shù)，∴f（-x+1）=f（x+1），
即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax²-2ax
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴二次方程ax²-（2a+1）x=0有兩相等實(shí)數(shù)根，
∴△=（2a+1）²-4a×0=0
∴a=-

1

2

，f(x)=-

1

2

x2+x（4分）

（2）①g(x)=-

1

2

x3+x2-kx，g′(x)=-

3

2

x2+2x-k
∵g（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
∴g′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立．
∴△=4-4(-

3

2

)(-k)≤0，得k≥

2

3

故k的取值范圍為[

2

3

，+∞)（7分）
②∵f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，
∴[km，kn]⊆(-∞，

1

2

]，
∴kn≤

1

2

，又k≥

2

3

，
∴n≤

1

2k

≤

3

4

，
∴[m，n]⊆（-∞，1]，
∴f（x）在[m，n]上是單調(diào)遞增函數(shù)（9分）
∴

f(m)=km f(n)=kn

即

- 1 2 m2+m=km - 1 2 n2+n=kn

即

m=0，或m=2-2k n=0，或n=2-2k

（11分）
∵m＜n故當(dāng)

2

3

≤k＜1時(shí)，[m，n]=[0，2-2k]；
當(dāng)k＞1時(shí)，[m，n]=[2-2k，0]；當(dāng)k=1時(shí)，[m，n]不存在． （13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、直線的斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．