Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2acos[（k-1）π]lnx （k∈N^*，a∈R）．
（1）若k=2011，a=1，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若k是偶數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)k是偶數(shù)時，f（x）=x²-2alnx，求導(dǎo)函數(shù)，對a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a＞0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＜0時，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得結(jié)論．

解答：解：（1）因為k=2011，a=1，所以f（x）=x²-2lnx，f′（x）=

2(x2-1)

x

(x＞0)，
由f′（x）＞0得x=1，且當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
故f（x）_min=f（1）=1．（5分）
（2）當(dāng)k是偶數(shù)時，f（x）=x²-2alnx，f′（x）=

2(x2+a)

x

(x＞0)，
所以當(dāng)a＞0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；（9分）
當(dāng)a＜0時，由f′（x）=0得x=

-a

，且當(dāng)x＞

-a

時，f′（x）＞0，當(dāng)x＜

-a

時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

-a

）上是減函數(shù)，f（x）在（

-a

，+∞）上是增函數(shù)．（13分）
綜上可得當(dāng)a＞0時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a＜0時，f（x）的減區(qū)間為（0，

-a

），增區(qū)間為（

-a

，+∞）．（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．