Question

已知a∈R，
命題p：實系數(shù)一元二次方程x²+ax+2=0的兩根都是虛數(shù)；
命題q：存在復(fù)數(shù)z同時滿足|z|=2且|z+a|=1．
試判斷：命題p和命題q之間是否存在推出關(guān)系？請說明你的理由．

Answer 1

解：若命題p為真，可得；
若命題q為真，可知復(fù)平面上的圓x²+y²=4和圓（x+a）²+y²=1有交點，
于是由圖形不難得到a∈[-3，-1]∪[1，3]，
若令集合，集合B=[-3，-1]∪[1，3]，
可知集合A和集合B之間互不包含，
于是命題p和命題q之間不存在推出關(guān)系．
分析：利用一元二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)系，可得實系數(shù)一元二次方程x²+ax+2=0的兩根都是虛數(shù)，即△＜0，進而求出參數(shù)a的取值范圍，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，根據(jù)復(fù)數(shù)z同時滿足|z|=2且|z+a|=1，可計算出命題q中參數(shù)a的取值范圍，然后根據(jù)兩個范圍對應(yīng)集合之間的關(guān)系，易判斷命題p和命題q之間是否存在推出關(guān)系．
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，及充要條件的定義，其中求出兩個命題中參數(shù)的范圍，將命題之間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．