Question

設A、B是橢圓C：3x²+y²=λ上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點．
（I）求直線AB的方程，并確定λ的取值范圍；
（II）在x軸上存在一個點E，使△EAB為正三角形，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用點差法來求中點弦方程，設出A，B點坐標，根據(jù)兩點在橢圓上，代入橢圓方程，作差，利用中點坐標公式，即可化簡，求出直線AB的斜率，再根據(jù)斜率和直線上的定點坐標，寫出點斜式方程．再根據(jù)點N（1，3）在橢圓內(nèi)部，代入橢圓方程，小于λ，即可求出λ的范圍．
（II）因為△EAB為正三角形，N（1，3）是線段AB的中點，所以線段AB的中垂線為EN，由因為E點在x軸上，可求出E點坐標，利用兩點間的距離公式，求出EN長，在正三角形中，中線是邊長的，可求出△EAB的邊長，再用弦長公式即可求出λ的值．
解答：解：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則
依題意，．
∵N（1，3）是AB的中點，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，從而k_AB=-1…4分直線AB的方程為y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，λ＞3×1²+3²=12．
∴λ的取值范圍是（12，+∞）．
（II）易得：線段AB的中垂線方程為：y=x+2，令y=0得：點E的人坐標為（-2，0）
∴．
又由得：
．
∴
∴由
∴此時橢圓的方程為：．
點評：本題主要考查了直線與橢圓相交時中點弦，弦長公式的應用，屬于常規(guī)題．