Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1-alnx）•lnx，（a∈R）
（1）若a=

1

2

，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當x≥1時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)f（x）=（x-1-

1

2

lnx）•lnx，的導數(shù)，令導數(shù)大于零，（小于零），解不等式即可求出它的單調(diào)遞增（遞減）區(qū)間；
（2）要求當x≥1時，f（x）≥0恒成立，即求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值即可，利用導數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間，分類討論求解極值點是否在定義域內(nèi)．

解答：解：（1）f（x）=（x-1-

1

2

lnx）•lnx，的定義域為（0，+∞），
f′（x）=（1-

1

2x

）•lnx+（x-1-

1

2

lnx）•

1

x

=（lnx+1）（1-

1

x

）
令f′（x）＞0，解得x＞1或0＜x＜

1

e

，
f′（x）＜0，解得

1

e

＜x＜1，
∴f（x）在區(qū)間（

1

e

，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞），（0，

1

e

）單調(diào)遞增；
（2）∵當x≥1時，f（x）≥0恒成立，
∴當x=1時，f（x）=0恒成立，
當x＞1時，f（x）≥0恒成立，即（x-1-alnx）•lnx，≥0恒成立，
∴x-1-alnx≥0恒成立，
令g（x）=x-1-alnx，（x＞1）
由 g′(x)=1-

a

x

，令g'（x）=0，得 1-

a

x

=0，即x=a，
當a≤1時，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
x＞1時，g（x）＞g（1）=0，故恒成立；
當a＞1時，當x∈（1，a）時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（1，a）上單調(diào)遞減；當x∈（a，+∞）時，
g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增；
∴當x=a時，g（x）取最小值a-1-alna，
∴a-1-alna≥0，
而F（a）=a-1-alna，（a＞1），F(xiàn)′（a）=1-lna-1=-lna＜0，
∴a=1，與a＞1矛盾，
綜上a≤1．

點評：此題是個難題．本題考查函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的導數(shù)在求函數(shù)最值的應用，解題的關鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．