Question

若f（x）為定義在R上的函數(shù)，且f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），則f（x）為

1. A.
   奇函數(shù)且周期函數(shù)
2. B.
   奇函數(shù)且非周期函數(shù)
3. C.
   偶函數(shù)且周期函數(shù)
4. D.
   偶函數(shù)且非周期函數(shù)

Answer 1

A
分析：令t=10+x代入第一個(gè)式子，結(jié)合第二個(gè)式子判斷出函數(shù)是奇函數(shù)；再令x-10=m結(jié)合已知的式子求出函數(shù)的周期是20．
解答：令t=10+x，則10-x=20-t，f（t）=f（20-t），
∴f（20+t）=f（-t）
∵f（20+x）=-f（20-x）
∴f（t）=-f（-t），∴f（x）是奇函數(shù)
∴f（10-x）=f（x-10）=f（x+10），
令x-10=m，則x+10=m+20，
有f（m）=f（m+20），所以f（x）是以T=20為周期的奇函數(shù)．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，利用整體代換和題意求出函數(shù)的周期，以及判斷出函數(shù)的奇偶性．