Question

3．已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²+ax（a∈R）．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+x²
①求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
②求證：當(dāng)a=-2時(shí)，對(duì)任意的t≤-2，存在唯一的m∈[1，+∞），使t=g（m）；
（2）若函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜0（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）

Answer 1

分析 （1）①先求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，②將a的值代入，求出g（m）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，從而證出結(jié)論；
（2）由于f（x）的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），可得方程2lnx-x²+ax=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，得到a的值，可得f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{4}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{2（l{nx}_{1}-l{nx}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$．經(jīng)過(guò)變形只要證明 $\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$+ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜0，通過(guò)換元再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）①g（x）=2lnx+ax，（x＞0），g′（x）=$\frac{2}{x}$+a=$\frac{ax+2}{x}$，
a≥0時(shí)：g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增；
a＜0時(shí)：令g′（x）＞0，解得：0＜x＜-$\frac{2}{a}$，令g′（x）＜0，解得：x＞-$\frac{2}{a}$，
∴g（x）在（0，-$\frac{2}{a}$）遞增，在（-$\frac{2}{a}$，+∞）遞減；
②g（m）=2lnm-2m，（m≥1），g′（m）=$\frac{2}{m}$-2＜0，
∴g（m）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（m）_最大值=g（1）=-2，
畫出函數(shù)y=t（t≤-2）和g（m）的圖象，如圖示：
∴存在唯一的m∈[1，+∞），使t=g（m）；
（2）∵f（x）的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），
∴方程2lnx-x²+ax=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{2l{nx}_{1}{{-x}_{1}}^{2}+{ax}_{1}=0}\\{2l{nx}_{2}{{-x}_{2}}^{2}+{ax}_{2}=0}\end{array}\right.$，
兩式相減得a=（x₁+x₂）-$\frac{2（l{nx}_{1}-l{nx}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$，
又f（x）=2lnx-x²+ax，f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x+a，
則f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$ ）=$\frac{4}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{2（l{nx}_{1}-l{nx}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$．
下證 $\frac{4}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-$\frac{2（l{nx}_{1}-l{nx}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$＜0（*），
即證明$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$+ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜0，
令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，∵0＜x₁＜x₂，∴0＜t＜1，
即證明u（t）=$\frac{2（1-t）}{t+1}$+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立．
∵u′（t）=$\frac{-2（t+1）-2（1-t）}{{（t+1）}^{2}}$+$\frac{1}{t}$=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$，
又0＜t＜1，
∴u′（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，則u（t）＜u（1）=0，
從而知$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{{x}_{1}+x}_{2}}$+ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜0，
故（*）式＜0，即f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜0成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．