Question

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以弦為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，試探討點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）是定值，定值為．

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的離心率為 ，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，建立方程組，即可求橢圓C的方程；（2）分類(lèi)討論，①當(dāng)軸時(shí)，得②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為．聯(lián)立，得，利用韋達(dá)定理，及以AB弦為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，則有，得，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求得結(jié)論．

【解析】
（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意 ，

所求橢圓方程為．

（2）設(shè)，．

①當(dāng)軸時(shí)，設(shè)方程為：，此時(shí)兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

又以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，設(shè)代人橢圓方程得：

②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)的方程為．聯(lián)立，

整理得，

，．

又。

由以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則有。 即： 故滿(mǎn)足： 得：

所以=。又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為： 。

綜上所述：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值．

考點(diǎn)：1．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系；2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．