分析:(1)再取AB的中點為M,證明FM∥平面PAD,EM∥平面PAD,可得平面EFM∥平面PAD,從而證得EF∥平面PAD.
(2)由題意可得直線BF和平面PAD所成角,即為DM和平面PAD所成角.找出∠MDH為DG和平面PAD所成角,用面積法求得MH=
,在直角三角形MDH中,根據(jù)sin∠MDH=
,運算求得結(jié)果.
(3)當點G和點D重合時,∠AGC=90°,此時,
=1.在線段PD上,取一點H,使OD=OH=
,則點G在線段DH上時(不含端點D、H)∠AGC為鈍角.△PAB中,利用余弦定理求得cos∠PDB=
,△HOD中,由余弦定理解得x的值,可得 PH=PD-x的值.再由∠AGC為鈍角時,
<
<1,求得
的取值范圍.
解答:
解:(1)再取AB的中點為M,則由題意可得FM與AD
平行且相等,而AD?平面PAD,
FM不在平面PAD 內(nèi),故有FM∥平面PAD.
再根據(jù)EM為△PAB的中位線可得EM∥PA,
而PA?平面PAD,EM不在平面PAD 內(nèi),
故有EM∥平面PAD.
這樣,在平面EFM中,有2條相交直線EM、FM都和
平面PAD 平行,故有平面EFM∥平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
(2)由題意可得FD和BM平行且相等,
故FDMB為平行四邊形,
直線BF和平面PAD所成角即為DM和平面PAD所成角.
求得DM=
=
=2,再求得邊長為2的等邊三角形PAB的高線PM=
,
由側(cè)面PAB⊥底面ABCD可得PM⊥平面ABCD,故△PMD為直角三角形,∴PD=
=
.
在利用勾股定理可得PA⊥AD,∴AD⊥平面PAB,平面PAD⊥平面PAB.
過點M作MH⊥PA,則MH⊥平面PAD,故∠MDH為DG和平面PAD所成角.
用面積法求得MH=
,直角三角形MDH中,sin∠MDH=
=
=
.
(3)當點G和點D重合時,∠AGC=90°,此時,
=1.
當點G從點D向點P運動時,∠AGC先是逐漸變大,后又逐漸變小,當OG⊥PD時,∠AGC最大,(O為AC的中點).
在線段PD上,取一點H,使OD=OH=
,則點G在線段DH上時(不含端點D、H)∠AGC為鈍角.
△PAB中,由PB=2、PD=
、BD=
,利用余弦定理求得cos∠PDB=
.
△HOD中,由于OH=OD=
,設(shè)HD=x,由余弦定理可得
=
+x
2-2•
•x•cos∠PDB,
解得x=
,∴PH=PD-x=
,
=
.
綜上可得,∠AGC為鈍角時,
<
<1,即
<
<1.