曲線C是平面內(nèi)與定點(diǎn)F（2，0）和定直線x=-2的距離的積等于4的點(diǎn)的軌跡．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱；
③曲線C與y軸有3個(gè)交點(diǎn)；
④若點(diǎn)M在曲線C上，則|MF|的最小值為2(
2
-1)．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．
分析：將所求點(diǎn)用（x，y）直接表示出來(lái)，然后根據(jù)條件列出方程即可求出軌跡方程，然后根據(jù)方程研究性質(zhì)即可，多個(gè)變量求最值時(shí)常常用消元法，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．
解答：解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵曲線C是平面內(nèi)與定點(diǎn)F（2，0）和定直線x=-2的距離的積等于4的點(diǎn)的軌跡，
∴
(x-2)2+y2
•|x+2|=4，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=0，∴曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故①正確；
∵將
(x-2)2+y2
•|x+2|=4中的y用-y代入該等式不變，
∴曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，故②正確；
令x=0時(shí)，y=0，故曲線C與y軸只有1個(gè)交點(diǎn)，故③不正確；
∵
(x-2)2+y2
•|x+2|=4，
∴y2=
16
(x+2)2
-(x-2)2
≥0，解得-2
2
≤x≤2
2
，
∴若點(diǎn)M在曲線C上，則|MF|=
(x-2)2+y2
=
4
|x+2|
≥
4
2+2
2
=2(
2
-1)，故④正確．
故答案為：①②④．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程，以及曲線的性質(zhì)，對(duì)稱性以及最值，同時(shí)考查了求軌跡方程的常用方法，屬于難題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1（-1，0）和F2（1，0）的距離的積等于常數(shù)a2（a＞1）的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；
③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于
12
a2．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1（-1，0）和F2（1，0）的距離的積等于常數(shù)a2（a＞1）的點(diǎn)的軌跡，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；
③若點(diǎn)P在曲線C上，
則V F1PF2的面積不大于
1
2
a2正確的個(gè)數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1（-2，0）和F2（2，0）的斜率之積為
1
2
的點(diǎn)的軌跡，P為曲線C上的點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①直線y=k（x+2）與曲線C一定有交點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③|PF1|-|PF2|為定值；
④△PF1F2的面積最大值為2
2
．其中正確結(jié)論的序號(hào)是
②
②
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•海淀區(qū)二模）曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)A（1，0）的距離與到定直線x=-1的距離之和為3的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．則曲線C與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是
(0，±
3
)
(0，±
3
)
；又已知點(diǎn)B（a，1）（a為常數(shù)），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=
a2-2a+2
，a≤-1.4或a≥1
a+4，-1.4＜a≤-1
2-a，-1＜a＜1.
a2-2a+2
，a≤-1.4或a≥1
a+4，-1.4＜a≤-1
2-a，-1＜a＜1.
．

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