Question

設a為實數，在復數集C中解方程：z²+2|z|=a．

Answer 1

分析：由于z²=a-2|z|為實數，故z為純虛數或實數，因而需分情況進行討論．當z是實數時，本題是一個關于z的一元二次方程組，解方程組即可；當z是一個純虛數時，按照實數方程求解得到z的虛部，寫出純虛數即可．

解答：解：設|z|=r．若a＜0，則z²=a-2|z|＜0，于是z為純虛數，從而r²=2r-a．
由于z²=a-2|z|為實數，故z為純虛數或實數，因而需分情況進行討論．
解得r=1+

1-a

（r=1-

1-a

＜0，不合，舍去）．故z=±（1+

1-a

）i．
若a≥0，對r作如下討論：
（1）若r≤

1

2

a，則z²=a-2|z|≥0，于是z為實數．
解方程r²=a-2r，得r=-1+

1+a

（r=-1-

1+a

＜0，不合，舍去）．
故z=±（-1+

1+a

）．
（2）若r＞

1

2

a，則z²=a-2|z|＜0，于是z為純虛數．
解方程r²=2r-a，得r=1+

1-a

或r=1-

1-a

（a≤1）．
故z=±（1±

1-a

）i（a≤1）．
綜上所述，原方程的解的情況如下：
當a＜0時，解為：z=±（1+

1-a

）i；
當0≤a≤1時，解為：z=±（-1+

1+a

），z=±（1±

1-a

）i；
當a＞1時，解為：z=±（-1+

1+a

）．

點評：本題還可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由復數相等的條件將復數方程化歸為關于x，y的實系數的二元方程組來求解．