已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）動(dòng)點(diǎn)E在直線l上，過點(diǎn)E分別作曲線C的切線EA、EB，切點(diǎn)為A、B．直線AB是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請說明理由．
分析：（Ⅰ）由已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1，可得：動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離與到直線l'：y=-1的距離相等．利用拋物線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是拋物線．
（II）設(shè)E（a，-2），設(shè)切線的切點(diǎn)為(x0，
x
2
0
4
)．由x2=4y得y=
x2
4
，利用導(dǎo)數(shù)可得y′=
x
2
，利用向量計(jì)算公式即可得出
x0
2
=
x
2
0
4
+2
x0-a
．解出x0，即可得出切點(diǎn)A，B，進(jìn)而得到切線方程．
解答：解：（Ⅰ）∵動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1，
∴動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離與到直線l'：y=-1的距離相等．
∴曲線C是以F（0，1）為焦點(diǎn)，y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線C的方程的方程是：x2=4y．
（Ⅱ）設(shè)E（a，-2），設(shè)切線的切點(diǎn)為(x0，
x
2
0
4
)．
由x2=4y得y=
x2
4
，∴y′=
x
2
，∴
x0
2
=
x
2
0
4
+2
x0-a
．
解得：x0=a±
a2+8
，
∴A(a+
a2+8
，
(a+
a2+8
)2
4
)，B(a-
a2+8
，
(a-
a2+8
)2
4
)．
化簡直線AB方程得：y-2=
a
2
x，
∴直線AB必過定點(diǎn)（0，2）．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線的定義、直線與拋物線相切的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）動(dòng)點(diǎn)E在直線l上，過點(diǎn)E分別作曲線C的切線EA，EB，切點(diǎn)為A、B．
（�。┣笞C：直線AB恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ⅱ）在直線l上是否存在一點(diǎn)E，使得△ABM為等邊三角形（M點(diǎn)也在直線l上）？若存在，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)F作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（ⅰ）過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，證明：MA⊥MB；
（ⅱ）是否在y軸上存在定點(diǎn)Q，使得無論AB怎樣運(yùn)動(dòng)，都有∠AQF=∠BQF？證明你的結(jié)論．

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已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線x=-1的距離大1．
（I）求曲線C的方程；
（II）過點(diǎn)F（2，0）且傾斜角為α(0＜α＜
π2
)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明：|FP|-|FP|•cos2α為定值，并求出此定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足到定點(diǎn)A（-1，0）的距離與到定點(diǎn)B（1，0）距離之比為
2

（1）求曲線C的方程．
（2）過點(diǎn)M（1，2）的直線l與曲線C交于兩點(diǎn)M、N，若|MN|=4，求直線l的方程．

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