精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)拋物線x2=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
分析：設(shè)出A，B的坐標(biāo)，對(duì)拋物線的方程進(jìn)行求導(dǎo)，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直線方程和直線MB的方程，聯(lián)立求得2x0=x1+x2．判斷出三者的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
解答：證明：由題意，設(shè)A（x1，
x12
2p
），B（x2，
x22
2p
）（x1＜x2），M（x0，-2p）．
由x2=2py得y=
x2
2p
，得y′=
x
p
，
所以kMA=
x1
p
，kMB=
x2
p
．
因此直線MA的方程為y+2p=
x1
p
(x-x0)，直線MB的方程為y+2p=
x2
p
(x-x0)．
所以，
x12
2p
+2p=
x1
p
(x-x0)①，
x22
2p
+2p=
x2
p
(x-x0)②
由①、②得
x1+x2
2
=x1+x2-x0，因此x0=
x1+x2
2
，即2x0=x1+x2．
所以A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學(xué)生知識(shí)的靈活運(yùn)用的能力和基本的計(jì)算的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，|AB|=4
10
．求此時(shí)拋物線的方程；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線x2=2py（p＞0）上，其中，點(diǎn)C滿足
OC
=
OA
+
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)拋物線C：y=x2的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線l：x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn)．則△APB的重心G的軌跡方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py（p＞0），M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2p）時(shí)，|AB|=4
10
，求此時(shí)拋物線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，過拋物線x2=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)．
（I）若
AP
=λ
PB
(λ∈R)，證明：λ=-
x1
x2
；
（II）在（I）條件下，若點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)，證明：
QP
⊥(
QA
-λ
QB
)；
（III）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程．

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