Question

（2013•唐山二模）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的點，AB₁∥平面BC₁Q．
（Ⅰ）確定點Q在AC上的位置；
（Ⅱ）若QC₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為

2

4

，求二面角Q-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）連接B₁C交BC₁于點P，連接PQ．利用線面平行的性質(zhì)定理及直線AB₁∥平面BC₁Q，可得AB₁∥PQ．再利用線線平行的性質(zhì)定理及P為B₁C的中點即可得到Q為AC的中點．
（II）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=BC=a，BB₁=b，利用斜線的方向向量與法向量的夾角及兩個平面的法向量的夾角即可得出．

解答：解：（Ⅰ）連接B₁C交BC₁于點P，連接PQ．
因為直線AB₁∥平面BC₁Q，AB₁?平面AB₁C，平面BC₁Q∩平面AB₁C=PQ，
所以AB₁∥PQ．
因為P為B₁C的中點，且AB₁∥PQ，
所以，Q為AC的中點．
（II）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=BC=a，BB₁=b，則平面BC₁C的法向量

m

=(1，0，0)．
B（0，0，0），C₁（0，a，b），Q(

3

4

a，

1

4

a，0)，
∴

BC1

=(0，a，b)，

QC1

=(-

3

4

a，

3

4

a，b)．
∵QC₁與平面BC₁C所成角的正弦值為

2

4

，
∴

2

4

=|cos＜

QC1

，

m

＞|=

| QC1 • m |

| QC1 | | m |

=

3 4 a

3 16 a2+ 9 16 a2+b2

，化為3a²=4b²，取b=

3

2

a．
設(shè)平面C₁BQ的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • BC1 =0 n • QC1 =0

，即

ay+bz=0 - 3 4 ax+ 3a 4 y+bz=0

，及b=

3

2

a．
令x=1，解得y=-

3

，z=2，∴

n

=(1，-

3

，2)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

1

8

=

2

4

．
故二面角Q-BC₁-C的余弦值為

2

4

．

點評：本題綜合考查了線面平行的性質(zhì)定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量求二面角的余弦值及線面角等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．