Question

設(shè)集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-5=0，x∈R}．
（1）若A∩B={2}，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若U=R，A∩C_UB=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（4）若B∩R₊=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

專題：集合

分析：（1）根據(jù)A與B的交集得到x=2為B中方程的解，將x=2代入計(jì)算即可求出a的值；
（2）根據(jù)A與B的并集為A，得到B為A的子集，即可確定出a的范圍；
（3）根據(jù)題意得到A與B交集為空集，即可確定出a的范圍；
（4）根據(jù)題意得到B為空集，或B中方程根為負(fù)值，分別求出a的范圍即可．

解答： 解：（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中方程
得a²+4a+3=0，所以a=-1或a=-3，
當(dāng)a=-1時(shí)，B={-2，2}，滿足條件；
當(dāng)a=-3時(shí)，B={2}，也滿足條件
綜上得a的值為-1或-3；
（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，
①當(dāng)△=4（a+1）²-4（a²-5）=8（a+3）＜0，即a＜-3時(shí)，B=∅滿足條件
②當(dāng)△=0即a=-3時(shí)，B={2}，滿足要求；
③當(dāng)△＞0，即a＞-3時(shí)，B=A={1，2}才能滿足要求，不可能
故a的取值范圍是a≤-3．
（3）∵A∩（C_UB）=A，
∴A⊆（C_UB），
∴A∩B=∅，
①當(dāng)△＜0，即a＜-3時(shí)，B=∅，滿足條件；
②當(dāng)△=0即a=-3時(shí)，B={2}，A∩B={2}，不適合條件；
③當(dāng)△＞0，即a＞-3時(shí)，此時(shí)只需1∉B且2∉B，
將2代入B的方程得a=-1或a=-3
將1代入B的方程得a=-1±

3

，
∴a≠-1，a≠-3，a≠-1±

3

，
綜上，a的取值范圍是a＜-3或-3＜a＜-1-

3

或-1-

3

＜a＜-1或或-1＜a＜-1+

3

或a＞-1+

3

；（4）∵B∩R₊=∅，
∴B=∅或B中方程解為負(fù)值，
當(dāng)B=∅時(shí)，B中方程無(wú)解，即△=4（a+1）²-4（a²-5）＜0，即8a＜-24，
解得：a＜-3；
當(dāng)B中方程解為負(fù)值時(shí)，x₁+x₂=-（a+1）＜0，x₁x₂=a²-5＞0，
解得：a＞

5

，
綜上，a的范圍為{a|a＜-3或a＞

5

}．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．