Question

已知函數(shù)f（x）=klnx+（k-1）x．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在最大值M，且M＞0，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系對(duì)k的大小進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的增減區(qū)間確定函數(shù)的最大值，從而解出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）顯然函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由題意得f′(x)=

k

x

+k-1=

(k-1)x+k

x

，
當(dāng)k≤0時(shí)，由x＞0知f′(x)=

k

x

+k-1＜0恒成立，
此時(shí)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)k≥1時(shí)，由x＞0知f′(x)=

k

x

+k-1＞0恒成立，
此時(shí)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，由f′（x）＞0，
得x＜

k

1-k

，
由f′（x）＜0，
解得x＞

k

1-k

，
此時(shí)f（x）在(0，

k

1-k

)內(nèi)單調(diào)遞增，在(

k

1-k

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且
當(dāng)k≤0或k≥1時(shí)，f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)，
此時(shí)函數(shù)f（x）無(wú)最大值，
又當(dāng)0＜k＜1時(shí)，f（x）在(0，

k

1-k

)內(nèi)單調(diào)遞增，在(

k

1-k

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)0＜k＜1時(shí)函數(shù)f（x）有最大值M=f(

k

1-k

)=kln

k

1-k

-k，
因?yàn)镸＞0，所以有kln

k

1-k

-k＞0，
解得k＞

e

1+e

，
因此k的取值范圍是(

e

1+e

，1)（e為自然對(duì)數(shù)的底）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運(yùn)算能力．