Question

已知向量=，=（cosx，1），設(shè)函數(shù)f（x）=•，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=•=2cos²x-sin2x=cos2x-sin2x+1=2sin（-2x）+1=-2sin（2x-）+1，
∴函數(shù)的最小正周期為 =π，令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=k 在區(qū)間上有交點(diǎn)．
由 0≤x≤ 可得-≤2x-≤，∴-≤sin（2x-）≤1，∴-1≤-2sin（2x-）+1≤2，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，2]，
故-1≤k≤2，即k的取值范圍為[-1，2]．
分析：（Ⅰ）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為-2sin（2x-）+1，由此求得函數(shù)的最小正周期，令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由題意可得函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=k 在區(qū)間上有交點(diǎn)，由 0≤x≤ 可得函數(shù)f（x）的值域，即為 k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．