Question

若當(dāng)x∈（1，4]時(shí)，不等式mx²-2x+2＞0恒成立，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，進(jìn)行參數(shù)分離法，結(jié)合二次函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．

解答： 解：當(dāng)x∈（1，4]時(shí)，不等式mx²-2x+2＞0恒成立，
即mx²＞2x-2，
即m＞

2x-2

x2

=

2

x

-

2

x2

設(shè)t=

1

x

，∵x∈（1，4]，∴t∈[

1

4

，1）．
則y=

2

x

-2•

1

x2

=2t-2t²=-2（t-

1

2

）²+

1

2

，
∵t∈[

1

4

，1）．
∴當(dāng)t=

1

2

時(shí)，函數(shù)y=2t-2t²=-2（t-

1

2

）²+

1

2

取得最大值

1

2

，
∴m＞

1

2

，
故答案為：m＞

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．恒成立的問(wèn)題一般與最值有關(guān)．