Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-ax-a．
（1）若存在實數(shù)x，使得f（x）＜0，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=log_|a||f（x）|在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意便知，不等式x²-ax-a＜0有解，從而有△＞0，從而得到a＜-4，或a＞0；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的判別式△的取值，從而來找出g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：①△＜0時，-4＜a＜0，分-4＜a＜-1和-1＜a＜0，根據(jù)二次函數(shù)f（x）和對數(shù)函數(shù)y=log_|a|x的單調(diào)性即可得出g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增即可得出a的范圍，②△＞0時，a＜-4，或a＞0，可設(shè)f（x）=0的兩實根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可以找出g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，從而該單調(diào)遞增區(qū)間包含區(qū)間[0，1]，這樣即可得出a的范圍，③△=0時，a=-4，方法同前面，可找出g（x）的單調(diào)增區(qū)間，這樣便可得出a=-4符合題意，最后把求得的a的范圍求并集即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意知，x²-ax-a＜0有解；
∴△=a²+4a＞0；
∴a＜-4，或a＞0；
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-4）∪（0，+∞）；
（2）由上面知，-4＜a＜0時，f（x）＞0；
∴①-4＜a＜-1時，1＜|a|＜4，則：
g（x）在$[\frac{a}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增；
則$\frac{a}{2}≤0$；
∴-4＜a＜-1；
②-1＜a＜0時，0＜|a|＜1，則：
g（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$]上單調(diào)遞增；
$\frac{a}{2}＜0$，∴不滿足g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，即這種情況不存在；
③a＜-4，或a＞0時，設(shè)f（x）=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，則：
1）a＜-4，或a＞1時，|a|＞1，則g（x）在[${x}_{1}，\frac{a}{2}$]，[x₂，+∞）上單調(diào)遞增；
若[0，1]$⊆[{x}_{1}，\frac{a}{2}]$，則$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-a＜0}\\{\frac{a}{2}≥1}\end{array}\right.$，∴a≥2；
若[0，1]⊆[x₂，+∞），則$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-a＞0}\\{\frac{a}{2}＜0}\end{array}\right.$，∴a＜-4；
2）0＜a＜1時，則g（x）在（-∞，x₁]，$[\frac{a}{2}，{x}_{2}]$上單調(diào)遞增；
若[0，1]⊆（-∞，x₁]，則$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-2a＞0}\\{\frac{a}{2}≥1}\end{array}\right.$，∴a∈∅；
若[0，1]⊆$[\frac{a}{2}，{x}_{2}]$，則$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-2a＜0}\\{\frac{a}{2}＜0}\end{array}\right.$，∴a∈∅；
④a=-4時，f（x）=0有兩相等的實根；
|a|＞1；
∴g（x）在$（\frac{a}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增；
∴$\frac{a}{2}＜0$；
∴a=-4；
∴綜上得實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）∪[2，+∞）．

點評 考查一元二次不等式ax²+bx+c＜0（a＞0）有解時，判別式△的取值情況，二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，以及復合函數(shù)的單調(diào)性，清楚|f（x）|的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間的關(guān)系．