Question

已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，有，且當(dāng)x∈[-3，-1]，f（x）的值域是[n，m]，則m-n的值是？

Answer 1

【答案】分析：由x＞0，f（x）=x+，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求得x＜0時(shí)f（x）的解析式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而確定答案．
解答：解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，，
∴x＜0時(shí)，-x＞0，，
∵函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，f（-x）=f（x），
∴x＜0時(shí)，，
∵f（x）=x+在[1，2]單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增
根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可知，在[-3，-2]單調(diào)遞減，在[-2，-1]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-2）=4=n，又f（-3）=，f（-1）=5＞f（-3），
∴f（x）_max=f（-1）=5=m，
∴m-n=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，難點(diǎn)在于對(duì)x＜0時(shí)，根據(jù)偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性判斷單調(diào)性，屬于中檔題．