Question

某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a（3≤a≤5）元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x（9≤x≤11）元時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為（12﹣x）²萬(wàn)件．
（1）求分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q（a）．

Answer 1

解：（1）分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：
L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）²，x∈[9，11]．
（2）L′（x）=（12﹣x）²﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x） =（12﹣x）（18+2a﹣3x）．
令L'（x）=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）．
∵3≤a≤5，∴8≤6+ a≤ ．
在x=6+ a兩側(cè)L′的值由正值變負(fù)值．
所以，當(dāng)8≤6+ a≤9，即3≤a≤ 時(shí)，
L_max=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）²=9（6﹣a）；
當(dāng)9＜6+ a≤ ，即 ＜a≤5時(shí)，
 L_max=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]²=4（3﹣a）³，

即當(dāng)3≤a≤ 時(shí)，當(dāng)每件售價(jià)為9元，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）萬(wàn)元；
當(dāng) ＜a≤5時(shí)，當(dāng)每件售價(jià)為（6+a）元，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=4（3﹣a）³萬(wàn)元．