Question

(08年石景山區(qū)統(tǒng)一測(cè)試)（14分）

如圖，在四棱錐中，⊥底面，底面為正方形，，、分別是、的中點(diǎn).

    （Ⅰ）求證：；

    （Ⅱ）求二面角的大�。�

    （Ⅲ）在平面內(nèi)求一點(diǎn)，使⊥平面，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解析：解法一：

（Ⅰ）證明：

      ∵ 、分別是、的中點(diǎn),

      ∴ .

      ∵ 是正方形，

      ∴ .

      又 底面，

      ∴ 是斜線在平面內(nèi)的射影.

      ∴ .

      ∴ .                               …………4分

 

（Ⅱ）連結(jié)交于，過(guò)作于，連結(jié)、.

      ∵ 分別為，中點(diǎn)，

  ∴ ∥.

 ∵ 底面，

 ∴ ⊥底面.

 ∴ 是斜線在平面內(nèi)的射影.

 ∴ .

 ∴ 是二面角的平面角.        ……………………………7分

 經(jīng)計(jì)算得：，.

 ∴ .

 即二面角的大小為.         ……………………………9分

（Ⅲ）取的中點(diǎn)，連結(jié).

∵ ，

∴ .

又易證平面，

∴ .

又 ，

∴ 平面.                         ……………………………11分

取中點(diǎn)，連結(jié)、.

∴ ，且.

∴ 四邊形為平行四邊形.

∴ .

∴ ⊥平面.

即當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，⊥平面.

                                             ……………………………14分

解法二：

  以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則

 

、、、、、、.

                                                 ……………………………2分

（Ⅰ）∵，，

 ∴ .

 ∴                                 ……………………………5分

（Ⅱ）∵ ⊥底面，

 ∴ 平面的法向量為.          ……………………………6分

設(shè)平面的法向量為

由得即

令，則，．

∴ ．                               ……………………………9分

∴ .

即二面角的大小為.       ……………………………11分

（Ⅲ）設(shè)，則平面．

∴ ．

由，得．由，得．

∴ 點(diǎn)坐標(biāo)為，即為中點(diǎn)時(shí)，⊥平面.    ………14分