Question

已知函數f（x）=2^x（x∈R），且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為奇函數，h（x）為偶函數．若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0對任意x∈[1，2]恒成立，則實數a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據函數奇偶性定義，解出奇函數f（x）和偶函數g（x）的表達式，將這個表達式不等式af（x）+g（2x）≥0，通過變形可得a≥==）×，通過換元，討論出右邊在x∈（0，1]的最大值，可以得出實數a的取值范圍．
解答：解：∵h（x）為定義在R上的偶函數，g（x）為定義在R上的奇函數
∴g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
又∵由h（x）+g（x）=2^x，
h（-x）+g（-x）=h（x）-g（x）=2^-x，
∴h（x）=，g（x）=
不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化簡為a≥0，x∈[1，2]
∵1≤x≤2∴2^x-2^-x＞0
令t=2^-x-2^x，
整理得：a≥==
=t=（），則由可知y=（t+）在[]單調遞增
∴當t=-時，
因此，實數a的取值范圍是a≥
故答案為a≥-
點評：本題以指數型函數為載體，考查了函數求表達式以及不等式恒成立等知識點，合理地利用函數的基本性質，再結合換元法和基本不等式的技巧，是解決本題的關鍵．