Question

設數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，且點（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直線（2t+3）x-3ty+3t=0（t為與n無關的正實數(shù)）上．
（Ⅰ） 求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ） 記數(shù)列{a_n}的公比為f（t），數(shù)列{b_n}滿足（n∈N^*，n≥2）．
設c_n=b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，設（n∈N^*），證明d_n＜d_n+1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為點（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直線（2t+3）x-3ty+3t=0（t為與n無關的正實數(shù)）上，所以（2t+3）S_n-1-3tS_n+3t=0，由此能夠證明{a_n}是等比數(shù)列． 
（Ⅱ）  由（Ⅰ） 知，從而，所以b_n-b_n-1=（n∈N^*，n≥2）．由此能夠求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，則．將用二項式定理展開，共有n+1項，=，同理，用二項式定理展開，第n+2項，由此能夠證明d_n＜d_n+1．
解答：解：（Ⅰ）因為點（S_n-1，S_n）（n∈N^*，n≥2）在直線（2t+3）x-3ty+3t=0（t為與n無關的正實數(shù)）上，
所以（2t+3）S_n-1-3tS_n+3t=0，
即有3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n∈N^*，n≥2）．
當n=2時，3t（a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t．
由a₁=1，解得，
所以．
當n≥2時，有3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t①
3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t②
①-②，得 3ta_n+1-（2t+3）a_n=0，
整理得．
綜上所述，知（n∈N*），
因此{a_n}是等比數(shù)列． …（5分）
（Ⅱ）  由（Ⅰ） 知，從而，
所以b_n-b_n-1=（n∈N^*，n≥2）．
因此，{b_n}是等差數(shù)列，并且．
所以，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=
=．                       …（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，
則．
將用二項式定理展開，
共有n+1項，其第k+1項（0≤k≤n）為
=，
同理，用二項式定理展開，
共有n+2項，第n+2項為，
其前n+1項中的第k+1項（0≤k≤n）為，
由，
得T_k+1＜U_k+1，k=2，3，…，n，
又T₁=U₁，T₂=U₂，U_n+2＞0，
∴d_n＜d_n+1．                        …（13分）
點評：本題考查等比數(shù)列的證明、前n項和的求法和不等式的證明，結合含兩個變量的不等式的處理問題，計算量大，對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．