Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}中，a_n＞0，前n項(xiàng)和為S_n，且4S_n=a_n²+2a_n+1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過4S_n=a_n²+2a_n+1與4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1+1作差、化簡可知a_n+1-a_n=2，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵4S_n=a_n²+2a_n+1，
∴4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1+1，
兩式相減得：4a_n+1=${{a}_{n+1}}^{2}$+2a_n+1-${{a}_{n}}^{2}$-2a_n，
整理得：${{a}_{n+1}}^{2}$-${{a}_{n}}^{2}$=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2a_n+1+2a_n，
又∵a_n＞0，即a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵4a₁=a₁²+2a₁+1，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．