Question

在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=AB=a（如圖1）。將△ADC沿AC折起，使D到D′。記面ACD′為α，面ABC為β，面BCD′為γ，
（Ⅰ）若二面角α-AC-β為直二面角（如圖2），求二面角β-BC-γ的大小；
（Ⅱ）若二面角α-AC-β為60°（如圖3），求三棱錐D′-ABC的體積。

Answer 1

解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，由已知△DAC為等腰直角三角形，
∴，
過C作CH⊥AB，由AB=2a，可推得AC=BC=，
∴AC⊥BC，
取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)D′E，
則D′E⊥AC，
又∵二面角α-AC-β為直二面角，
∴D′E⊥β，
又∵，
∴BC⊥D′E，
∴BC⊥α，而，
∴BC⊥D′C，
∴為二面角β-BC-γ的平面角。
由于，
∴二面角β-BC-γ為45°。
（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)D′E，再過D′作，垂足為O，連結(jié)OE，
∵AC⊥D′E，
∴AC⊥OE，
∴為二面角α-AC-β的平面角，
∴=60°，
在中，，
∴
。