Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+1的極值情況，4位同學(xué)有下列說(shuō)法：甲：該函數(shù)必有2個(gè)極值；乙：該函數(shù)的極大值必大于1；丙：該函數(shù)的極小值必小于1；丁：方程f（x）=0一定有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根． 這四種說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：f′（x）=3x²+2ax-1，顯然，判別式（2a）²-4×3×（-1）=4a²+12＞0，故f′（x）有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x₁，x₂，且一正一負(fù)，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂．f（x）=x³+ax²-x+1圖象必過(guò)點(diǎn)（0，1），函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+1在（-∞，x₁）上遞增，（x₁，x₂）上遞減，（x₂，+∞）上遞增，可畫出函數(shù)的圖象，可得答案．

解答：解：f（x）=x³+ax²-x+1，則f′（x）=3x²+2ax-1，顯然，判別式（2a）²-4×3×（-1）=4a²+12＞0，
故f′（x）有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x₁，x₂，且一正一負(fù)，不妨設(shè)x₁＜0＜x₂．又f（x）=x³+ax²-x+1圖象必過(guò)點(diǎn)（0，1）
二次函數(shù)f′（x）=3x²+2ax-1，開(kāi)口向上，且在（-∞，x₁）上為正，（x₁，x₂）上為負(fù)，（x₂，+∞）上為正，
即函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+1在（-∞，x₁）上遞增，（x₁，x₂）上遞減，（x₂，+∞）上遞增．
由極值的定義可知：函數(shù)f（x）必有兩個(gè)極值點(diǎn)，且x=x₁處是極大值點(diǎn)，x=x₂處是極小值點(diǎn)．
由以上性質(zhì)作函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+1的圖象
或
由圖1，圖2可知：甲正確；乙正確；丙正確；丁不正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)極值的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而得出函數(shù)的圖象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．