若函數(shù)f（x）定義域內(nèi)有兩個任意實數(shù)x1，x2，滿足f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）為凸函數(shù)，下列函數(shù)中是凸函數(shù)的為
 
．
①f（x）=3x+1，②f(x)=
1
x
x∈（-∞，0），③f（x）=x2-3x-2，④f（x）=-|x+1|
分析：由題意，直接代入計算
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)的值，判斷是否恒大于0即可．
解答：解：①
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
3x1+1+3x2+1
2
-3
x1+x2
2
+1=0，不是凸函數(shù)；
②
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
1
x1
+
1
x2
2
-
1
x1 +x2
2
=
2(x1-x2) 2
(x1 +x2) x1x2
符號不確定，故不為凸函數(shù)
③
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
x12-3x1-2+x22-3x2-2
2
-(
x1+x2
2
)2+3
x1+x2
2
+2
=(
x1-x2
2
)2＞0，故為凸函數(shù)．
④
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
-|x1+1|-|x2+1|
2
+|
x1 +x2
2
+1|，
取x1=1，x2=2則上式為0，故不是凸函數(shù)．
故答案為：③
點評：本題為新定義問題，考查函數(shù)的解析式、對新定義的理解和計算．
練習冊系列答案
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若函數(shù)f（x）定義域為R且f（x）=ex+x2-x+sinx，則曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程是
y=x+1
y=x+1
．

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（2012•貴陽模擬）若函數(shù)f（x）定義域為R，滿足對任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），則稱f（x）為“V形函數(shù)”；若函數(shù)g（x）定義域為R，g（x）恒大于0，且對任意x1，x2∈R，有l(wèi)gg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），則稱g（x）為“對數(shù)V形函數(shù)”．
（1）當f（x）=x2時，判斷f（x）是否為V形函數(shù)，并說明理由；
（2）當g（x）=x2+2時，證明：g（x）是對數(shù)V形函數(shù)；
（3）若f（x）是V形函數(shù)，且滿足對任意x∈R，有f（x）≥2，問f（x）是否為對數(shù)V形函數(shù)？證明你的結論．

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若函數(shù)f（x）定義域為[-2，3]，則f（|x|）的定義域為
（-3，3）
（-3，3）
．

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-6
-6
．

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