已知函數(shù)f(x)=2cos2(x+
π
12
)+2sinxcosx-3．
（Ⅰ）化簡函數(shù)f（x）的解析式，并求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若方程f(x+
π
12
)+sinx-t=0恒有實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)的解析式進行化簡整理，利用正弦函數(shù)的性質求得函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）根據(jù)題意可把問題轉化為求函數(shù)t=f(x+
π
12
)+sinx的值域，進而根據(jù)二倍角公式對函數(shù)t的解析式整理后，利用二次函數(shù)的性質和sinx的范圍確定函數(shù)t的值域，答案可得．
解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2cos2(x+
π
12
)+2sinxcosx-3
=cos(2x+
π
6
)+sin2x-2=
3
2
cos2x+
1
2
sin2x-2
=sin(2x+
π
3
)-2．
其最小正周期為T=
2π
2
=π

（Ⅱ）方程f(x+
π
12
)+sinx-t=0恒有實數(shù)解，等價于求函數(shù)t=f(x+
π
12
)+sinx的值域．
∵t=f(x+
π
12
)+sinx=sin[2(x+
π
12
)+
π
3
]+sinx-2
=cos2x+sinx-2=-2sin2x+sinx-1=-2(sinx-
1
4
)2-
7
8
．
∵-1≤sinx≤1，∴t∈[-4，-
7
8
]．
點評：本題主要考查了二倍角公式的應用，兩角和公式的化簡求值以及三角函數(shù)的周期性等．考查了學生綜合分析和解決問題的能力．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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