Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=4，BC=CC₁=

2

，P是BC₁上一動點，則CP+PA₁的最小值是

 

．

Answer 1

分析：連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個平面內(nèi)，不難看出CP+PA₁的最小值是A₁C的連線．（在BC₁上取一點與A₁C構(gòu)成三角形，因為三角形兩邊和大于第三邊）由余弦定理即可求解．

解答：解：連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個平面內(nèi)，
連接A₁C，長度即是所求．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=4，BC=CC₁=

2

，
∴矩形BCC₁B₁是邊長為

2

的正方形；則BC₁=2；
另外A₁C₁=AC=4；
在矩形ABB₁A₁中，A₁B₁=AB=3

2

，BB₁=

2

，則A₁B=2

5

；
易發(fā)現(xiàn)4²+2²=20，即A₁C₁²+BC₁²=A₁B²，
∴∠A₁C₁B=90°，則∠A₁C₁C=135°
故A₁C=

A1C 2 1 +C1C2-2A1C1•C1C•cos135°

=

16+2+2×4• 2 • 2 2

=

26

故答案為：

26

點評：本題考查的知識中是棱柱的結(jié)構(gòu)特征及兩點之間的距離，其中利用旋轉(zhuǎn)的思想，將△CBC₁沿BC₁展開，將一個空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)求兩點之間距離問題是解答本題的關(guān)鍵．