Question

（15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且OC=1，OA=a+1(a>1)，點(diǎn)D在邊OA上，滿足OD=a. 分別以OD、OC為長(zhǎng)、短半軸的橢圓在矩形及其內(nèi)部的部分為橢圓弧CD. 直線l：y=－x+b與橢圓弧相切，與AB交于點(diǎn)E.

（1）求證：；

（2）設(shè)直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，求直線l的方程；

（3）在（2）的條件下，設(shè)圓M在矩形及其內(nèi)部，且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M的方程．

Answer 1

解析：題設(shè)橢圓的方程為.                    …………………………1分

由消去y得.   ………………………2分

由于直線l與橢圓相切，故△＝(－2a²b)²－4a²(1+a²) (b²－1)＝0，

化簡(jiǎn)得.          ①                        …………………………4分

（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），

于是OB的中點(diǎn)為.                           ………………………5分

因?yàn)?I>l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過(guò)點(diǎn)，

即，亦即.         ②          …………………………6分

由①②解得，故直線l的方程為    ………………………8分

（3）由（2）知.

因?yàn)閳AM與線段EA相切，所以可設(shè)其方程為.………9分

因?yàn)閳AM在矩形及其內(nèi)部，所以      ④     ……………………… 10分

圓M與 l相切，且圓M在l上方，所以，即.

………………………12分

代入④得即            ………………………13分

所以圓M面積最大時(shí)，，這時(shí)，.

故圓M面積最大時(shí)的方程為 ………………………15分