Question

如圖所示，為一臺冷軋機的示意圖．冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出．

（1）輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度為β，若每對軋輥的減薄率不超過r₀．問冷軋機至少需要安裝多少對軋錕？
一對軋錕的減薄率=

輸入該對的帶鋼厚度-從該對輸出的帶鋼厚度

輸入該對的帶鋼厚度

（2）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋錕，所有軋輥周長均為1600mm．若第k對軋錕有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，庇點的間距為L_k．為了便于檢修，請計算L₁、L₂、L₃并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得a（1-r₀）ⁿ≤β即(1-r0)n≤

β

a

.兩端取對數(shù)，得nlg(1-r0)≤lg

β

a

.由于lg（1-r₀）＜0，進(jìn)而求得n的范圍．
（2）根據(jù)題意可知1600=L₃•（1-0.2），進(jìn)而求得L₃，同理可求得L₂和L₁

解答：（1）解：厚度為α的帶鋼經(jīng)過減薄率均為r₀的n對軋緄后厚度為a（1-r₀）ⁿ．為使輸出帶鋼的厚度不超過β，冷軋機的軋輥數(shù)（以對為單位）應(yīng)滿足a（1-r₀）ⁿ≤β即(1-r0)n≤

β

a

.
由于(1-r0)n＞0，

β

a

＞0，對比上式兩端取對數(shù)，得nlg(1-r0)≤lg

β

a

.
由于lg（1-r₀）＜0，所以n≥

lgβ-lga

lg(1-r0)

.
因此，至少需要安裝不小于

lgβ-lga

lg(1-r0)

的整數(shù)對軋輥．
（2）第3對軋輥出口處疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔儯��?600=L₃•（1-0.2），
所以L3=

1600

0.8

=2000(mm).
同理L2=

L3

0.8

=2500(mm)，L1=

L2

0.8

=3125(mm).
填表如下：

點評：本小題主要考查等比數(shù)列、對數(shù)計算等基本知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題的能力．