Question

已知函數f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（1）若a=0，求f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），都有f（x）≥-1成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，求函數的定義域以及導數．利用導數研究函數的極值和最值．
（2）將條件f（x）≥-1成立，轉化為最值恒成立，利用導數求最大值或最小值．

解答：解：f（x）的定義域為（0，+∞）．                                         …1分
（Ⅰ）當a=0時，f（x）=xlnx，f'（x）=1+lnx．                               …2分
令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．
從而f（x）在(0，

1

e

)單調遞減，在(

1

e

，+∞)單調遞增．
所以，當x=

1

e

時，f（x）取得最小值-

1

e

．                                      …4分
（Ⅱ）解：依題意，得f（x）≥-1在[1，+∞）上恒成立，即f（x）=xlnx+ax≥-1成立，
即不等式a≥-(lnx+

1

x

)對于x∈[1，+∞）恒成立．
設g(x)=lnx+

1

x

，則g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

．
當x＞1時，因為g′(x)=

x-1

x2

＞0，
故g（x）在[1，+∞）上是增函數，
所以 g（x）的最小值是g（1）=1，從而-g（x）的最大值是-g（1）=-1． …8分
所以a的取值范圍是[-1，+∞）．

點評：本題的考點是利用導數研究函數的單調性以及求函數的最值．不等式恒成立問題常常是轉化為最值恒成立去解決．