已知橢圓左右兩焦點為F1,F(xiàn)2,P是橢圓上一點,且在x軸上方,PF2⊥F1F2,OH⊥PF1于H,

(1)求橢圓的離心率e的取值范圍;

(2)當e取最大值時,過F1,F(xiàn)2,P的圓Q的截y軸的線段長為6,求圓Q的方程;

(3)在(2)的條件下,過橢圓右準線L上任一點A引圓Q的兩條切線,切點分別為M,N,試探究直線MN是否過定點?若過定點,請求出該定點;否則,請說明理由.

考點:

圓與圓錐曲線的綜合.

專題:

綜合題.

分析:

由相似三角形知,,2a2λ﹣b2λ=b2,2a2λ=b2(1+λ),

(1)由,知,在上單調(diào)遞減.由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍.

(2)當時,,所以,2b2=a2.由PF2⊥F1F2,知PF1是圓的直徑,圓心是PF1的中點,由此能求出圓Q的方程.

(3)橢圓方程是,右準線方程為,由直線AM,AN是圓Q的兩條切線,知切點M,N在以AQ為直徑的圓上.設(shè)A點坐標為,由此能夠?qū)С鲋本€MN必過定點

解答:

解:由相似三角形知,,

∴2a2λ﹣b2λ=b2,2a2λ=b2(1+λ),

(1),∴,在上單調(diào)遞減.

時,e2最小,時,e2最大,

,∴

(2)當時,,∴,∴2b2=a2

∵PF2⊥F1F2,∴PF1是圓的直徑,圓心是PF1的中點,

∴在y軸上截得的弦長就是直徑,∴PF1=6.

,∴

,圓心Q(0,1),半徑為3,x2+(y﹣1)2=9.

(3)橢圓方程是,右準線方程為,

∵直線AM,AN是圓Q的兩條切線,∴切點M,N在以AQ為直徑的圓上.設(shè)A點坐標為

∴該圓方程為.∴直線MN是兩圓的公共弦,兩圓方程相減得:,這就是直線MN的方程.

該直線化為:,

,∴

∴直線MN必過定點

點評:

本題考查直線 和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用,解題時要認真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.

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