已知橢圓左右兩焦點為F1,F(xiàn)2,P是橢圓上一點,且在x軸上方,PF2⊥F1F2,OH⊥PF1于H,
.
(1)求橢圓的離心率e的取值范圍;
(2)當e取最大值時,過F1,F(xiàn)2,P的圓Q的截y軸的線段長為6,求圓Q的方程;
(3)在(2)的條件下,過橢圓右準線L上任一點A引圓Q的兩條切線,切點分別為M,N,試探究直線MN是否過定點?若過定點,請求出該定點;否則,請說明理由.
考點:
圓與圓錐曲線的綜合.
專題:
綜合題.
分析:
由相似三角形知,,
,2a2λ﹣b2λ=b2,2a2λ=b2(1+λ),
.
(1)由,知
,在
上單調(diào)遞減.由此能求出橢圓的離心率e的取值范圍.
(2)當時,
,所以
,2b2=a2.由PF2⊥F1F2,知PF1是圓的直徑,圓心是PF1的中點,由此能求出圓Q的方程.
(3)橢圓方程是,右準線方程為
,由直線AM,AN是圓Q的兩條切線,知切點M,N在以AQ為直徑的圓上.設(shè)A點坐標為
,由此能夠?qū)С鲋本€MN必過定點
.
解答:
解:由相似三角形知,,
,
∴2a2λ﹣b2λ=b2,2a2λ=b2(1+λ),.
(1),∴
,在
上單調(diào)遞減.
∴時,e2最小
,
時,e2最大
,
∴,∴
.
(2)當時,
,∴
,∴2b2=a2.
∵PF2⊥F1F2,∴PF1是圓的直徑,圓心是PF1的中點,
∴在y軸上截得的弦長就是直徑,∴PF1=6.
又,∴
.
∴,圓心Q(0,1),半徑為3,x2+(y﹣1)2=9.
(3)橢圓方程是,右準線方程為
,
∵直線AM,AN是圓Q的兩條切線,∴切點M,N在以AQ為直徑的圓上.設(shè)A點坐標為,
∴該圓方程為.∴直線MN是兩圓的公共弦,兩圓方程相減得:
,這就是直線MN的方程.
該直線化為:,
∴,∴
∴直線MN必過定點.
點評:
本題考查直線 和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運用,解題時要認真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年江蘇省揚州中學高二(上)期末數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年湖北省宜昌市長陽一中高二(下)第一次月考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年江蘇省高考數(shù)學預測試卷(3)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年江蘇高考數(shù)學預測試卷(解析版) 題型:解答題
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