Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，并且滿足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{

an

2n

}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由na_n+1=S_n+n結(jié)合通項和前n項和的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為a_n+1-a_n=2（n≥2）再由等差數(shù)列的定義求解，要注意分類討論．
（2）由（1）求得 a_n代入整理得

an

2n

=

2n

2n

=

n

2n-1

是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項積的形式，用錯位相減法求其前n項和．

解答：解：（1）na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，a_n+1-a_n=2（n≥2）a₁=2，a₂=s₁+2，
∴a₂-a₁=2，所以{a_n}等差a_n=2n

（2）

an

2n

=

2n

2n

=

n

2n-1

，Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

1

2

Tn=2-(n+2)

1

2n

，Tn=4-

n+2

2n-1

點評：本題主要考查數(shù)列的轉(zhuǎn)化與通項公式和求和方法，這里涉及了通項與前n項和之間的關(guān)系及錯位相減法，這是數(shù)列考查中常考常新的問題，要熟練掌握．