Question

設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+

π

6

)+sin2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若AB=1，sinB=

1

3

，求AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用兩角差的余弦函數(shù)以及正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，
（Ⅰ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）利用第一問的結(jié)果求出C的正弦函數(shù)值，結(jié)合設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若AB=1，sinB=

1

3

，利用正弦定理即可求AC的長．

解答： （本小題共13分）
解：f(x)=cos(2x+

π

6

)+sin2x
=cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

+sin2x=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)…（3分）
（I）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，則kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)．…（6分）
（II）由已知f(

C

2

)=sin(C+

π

3

)=

3

2

，…．（8分）
因?yàn)?＜C＜π，∴

π

3

＜C+

π

3

＜

4π

3

所以C+

π

3

=

2π

3

，C=

π

3

，所以sinC=

3

2

．…（10分）
在△ABC中，由正弦定理，

AC

sinB

=

AB

sinC

，得AC=

AB•sinB

sinC

=

1 3

3 2

=

2 3

9

．…..（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理的應(yīng)用，考查三角形的解法，考查計(jì)算能力．