Question

（本小題滿分14分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，，成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足，求適合方程的正整數(shù)的值．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查等差中項(xiàng)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、對數(shù)式的運(yùn)算、裂項(xiàng)相消法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，先利用等差中項(xiàng)的概念列出等式，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將轉(zhuǎn)化成和q，解出q的值，最后直接代入到中即可；第二問，先利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和將展開，代入到，利用對數(shù)式的運(yùn)算，化簡得到，最后利用裂項(xiàng)相消法化簡，然后解出n的值.

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由，得．

由，，成等差數(shù)列，

故，所以，

得，故． 2分

解得，或（舍）． 4分

所以； 6分

（2）由（1）得，

故， 8分

所以． 9分

． 11分

由題意得．. 13分

解得，

滿足題意得． 14分

考點(diǎn)：等差中項(xiàng)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、對數(shù)式的運(yùn)算、裂項(xiàng)相消法.